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Commentaire :
Le premier problème, ouvert, laisse à l’élève
le choix de la méthode. Il y a en effet de multiples façons de
raisonner pour le résoudre. Les outils utilisés sont le théorème
de Thalès et le théorème de Pythagore. Ces différentes méthodes
conduisent à des résultats apparemment distincts : SN =
,
SN
= 0,6
, SN =
-
ou encore SN =
–
.
Force
sera donc de constater que
= 0,6
=
-
=
–
.
On
pourra à ce sujet faire vérifier ces égalités par l’élève à
la calculatrice, en s’appuyant sur le fait que pour comparer des
quantités positives, il suffit de comparer les carrés de
ces quantités. On trouve 45 pour le carré de chacune des quatre
expressions ci-dessus.
L’idée
est de faire comprendre à l’élève qu’une étude des racines
carrées est nécessaire pour justifier facilement et rapidement ces
égalités, sans recourir à un problème de celui du type posé.
Il
faudra revenir sur ces égalités une fois exposés la définition,
la somme et le produit des racines carrées.
Le
second problème, également d’ordre géométrique, conduit à
l’égalité suivante :
= 39 ou encore :
= 78.
On
pourra alors faire calculer aux élèves la quantité
. On aboutira alors à l’égalité :
=
. Ce qui permettra de conjecturer que le produit de
deux racines carrées est égal à la racine carrée du produit.
Sont
pré-requis le théorème de Pythagore et sa réciproque, ainsi que
la formule d’aire d’un triangle.
Cette
activité riche a été posée sans qu’aucune définition ou
propriété des racines ait été exposée.
Cela
ne pose pas problème ; du reste, on pourra amener les élèves
à formuler cette définition au cours de l’activité.
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